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Description: |
Seja $\lambda = (\lambda_{1}, \ldots ,\lambda_{s})$, $\lambda_{1}
= \cdots = \lambda_{s-1} \geq \lambda_{s}$, um caracter
irredut\'{\i}vel de $S_{n}$ correspondente \`{a} parti\c{c}\~{a}o
$(\lambda_{1}, \ldots ,\lambda_{s})$ de $n$. Se $A$ \'{e} uma
matriz herm\'{\i}tica semidefinida positiva, $d_{\lambda}(A) =
\sum_{\sigma \in S_{n}}\lambda(\sigma)\prod_{i=1}^{n}
a_{i,\sigma(i)}$ chama-se imanante. Seja $\chi = (\lambda_{1} +
\lambda_{s}, \ldots ,\lambda_{s-1})$ o caracter irredut\'{\i}vel
de $S_{n}$ correspondente \`{a} parti\c{c}\~{a}o $(\lambda_{1} +
\lambda_{s} , \ldots ,\lambda_{s-1})$ de $n$. Existe um conjunto
finito, $\{\phi_{1}, \ldots , \phi_{k}\}$, de fun\c{c}\~{o}es
centrais sobre $\mathbf{C}$ tais que $$\chi = c_{1}\phi_{1} +
\cdots +c_{k}\phi_{k}\,\,\,,\,\,\,\lambda = b_{1}\phi_{1} + \cdots
+b_{k}\phi_{k}$$ $c_{i} \in \mathbf{N}$, $b_{i} \in \mathbf{Z}$.
Usando estas desigualdades e algumas desigualdades entre tensores
\'{e} poss\'{\i}vel, para $s = 2,3,4$, provar a desigualdade
$$\frac{1}{\lambda(id)}d_{\lambda}(A) \leq
\frac{1}{\chi(id)}d_{\lambda}(A)$$ para toda a matriz $A$,
herm\'{\i}tica e semidefinida positiva.
Area(s):
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