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Description: |
En este trabajo se estudia, desde el punto de vista numérico, el modelo de remodelación ósea propuesto por Cowin y Hegedus (véase [1]). Este modelo se
caracteriza por una ecuación variacional elíptica para el campo de desplazamientos y una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en tiempo para describir el proceso fisiológico de remodelado óseo. La evolución de la función de remodelación ósea se obtiene de la siguiente ecuación diferencial ordinaria:
$\dot{e}=a(e)+\mathcal{A}(e)\, :\, \bvarepsilon(\bu)$ (1)
donde $e$ es la función que mide la variación de la fracción volúmica del hueso desde una configuración de referencia, $\bu$ y $\bvarepsilon(\bu)$ representan el campo de desplazamientos y el tensor de deformaciones linealizado, respectivamente, $a(e)$ es una función constitutiva y $\mathcal{A}(e)$ denota un tensor de segundo orden que incluye los coeficientes de remodelación.
Bajo ciertas hipótesis sobre los datos, en [3] se establece un resultado de
existencia y unicidad de solución débil. Utilizando el método de elementos finitos
para aproximar la variable espacial y un esquema de Euler para discretizar las derivadas temporales, obtenemos aproximaciones discretas de este problema
variacional y probamos un resultado de estimación del error que generaliza el
obtenido en [2] para un caso unidimensional simplificado. Bajo condiciones de regularidad adecuadas, deducimos la convergencia lineal del algoritmo respecto
de los parámetros de discretización. Finalmente, presentamos algunos resultados
numéricos, en una y dos dimensiones, para mostrar la validez y eficiencia del
algoritmo. En la segunda parte del trabajo se considera un problema similar, suponiendo que el hueso puede entrar en contacto con un obstáculo deformable.
El problema variacional esta compuesto por una ecuación variacional no lineal
para el campo de desplazamientos y la ecuación diferencial ordinaria de primer
orden (1). Se establece la existencia y unicidad de solución débil, se obtiene
la convergencia lineal del algoritmo utilizado y se presentan algunos resultados
numéricos en una, dos y tres dimensiones.
Referencias
[1] S.C. Cowin y D.H. Hegedus, Bone remodeling I: theory of adaptive elasticity, J. Elasticity 6 (3) (1976) 313-326.
[2] I.N. Figueiredo, Approximation of bone remodeling models, J. Math. Pures Appl. 84 (2005) 1794-1812.
[3] J. Monnier y L. Trabucho, Existence and uniqueness of a solution to an adaptive elasticity model, Math. Mech. Solids 3 (1998) 217-228.
Area(s):
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Date: |
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| Start Time: |
14:30 |
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Speaker: |
Rebeca Martinez, (Univ. Santiago de Compostela)
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Place: |
Sala 5.5
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| Research Groups: |
-Analysis
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